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# Warum e hoch minus t durch τ überall auftaucht
- URL: https://schmidbauer.jetzt/exponentialfunktion-abklingen/
- Published: 2026-10-18T13:09:39.000Z
- Updated: 2026-10-18T13:09:39.000Z
- Description: Kondensatorentladung, radioaktiver Zerfall und Abkühlung folgen derselben Gleichung. Wir zeigen, woher sie kommt, und rechnen den Zusammenhang zwischen Zeitkonstante und Halbwertszeit aus.
- Author: Tobias Schmidbauer
- Tags: Physik und Mathe, Elektrotechnik und Technik

Der Entladevorgang eines Kondensators, der Zerfall radioaktiver Kerne und viele Abkühlvorgänge sehen in der Mathematik gleich aus. Das ist kein Zufall: Dahinter steht eine einzige Differentialgleichung.

## Die Grundidee

Eine Größe $y(t)$ nimmt so ab, dass ihre Änderungsrate proportional zu ihrem aktuellen Wert ist:

$$\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}t} = -\\frac{1}{\\tau}\\, y.$$

Dabei ist $\\tau$ eine positive Konstante mit der Einheit einer Zeit. Je größer $y$, desto schneller nimmt es ab, und je kleiner $y$ wird, desto langsamer geht es weiter.

Die Lösung mit dem Anfangswert $y(0) = y\_0$ lautet

$$y(t) = y\_0 \\, e^{-t/\\tau}.$$

Das lässt sich durch Ableiten prüfen: $\\dot y = y\_0 \\cdot \\left(-\\tfrac{1}{\\tau}\\right) e^{-t/\\tau} = -\\tfrac{1}{\\tau}\\, y$.

## Drei Beispiele

- **Kondensatorentladung:** Die Spannung folgt $u\_C(t) = U\_0\\, e^{-t/(RC)}$, also $\\tau = R \\cdot C$.
- **Radioaktiver Zerfall:** Die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne folgt $N(t) = N\_0\\, e^{-t/\\tau}$, denn die Zerfälle pro Zeit sind proportional zur Anzahl der vorhandenen Kerne.
- **Abkühlen:** Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt die Temperaturdifferenz zur Umgebung näherungsweise genauso. Streng genommen gilt das nur bei kleinen Temperaturunterschieden und ohne Strahlungsanteil.

## Halbwertszeit und Zeitkonstante

Die Halbwertszeit $T\_{1/2}$ ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte übrig ist:

$$e^{-T\_{1/2}/\\tau} = \\tfrac{1}{2} \\quad\\Rightarrow\\quad T\_{1/2} = \\tau \\ln 2 \\approx 0{,}693\\,\\tau.$$

Bei einem RC-Glied mit $\\tau = 1\\,\\mathrm{s}$ ist die Spannung also nach etwa $0{,}69\\,\\mathrm{s}$ auf die Hälfte gefallen. Nach der Zeit $\\tau$ selbst sind noch $e^{-1} \\approx 36{,}8\\,\\%$ übrig.

## Stolpersteine

- **Nicht jedes Abklingen ist exponentiell.** Wird eine Größe etwa von zwei Prozessen mit unterschiedlichen Zeitkonstanten bestimmt, ergibt die Messkurve eine Summe von Exponentialfunktionen.
- **Halbwertszeit und Zeitkonstante sind nicht dasselbe.** Der Faktor $\\ln 2$ wird gern vergessen.
- **Ein Offset stört.** Wenn eine Größe nicht gegen null, sondern gegen einen Endwert strebt (zum Beispiel die Raumtemperatur), muss er vor dem Anpassen abgezogen werden.

## Für den Unterricht

Jahrgangsstufe: ab 12\. Im LehrplanPLUS für das bayerische Gymnasium stehen die natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion in Mathematik 12, das RC-Glied in Physik 12 und das Zerfallsgesetz per Differentialgleichung in Physik 13 (erhöhtes Anforderungsniveau). Die Halbwertszeit kennt die Klasse schon aus Physik 10\. Zeitbedarf: 30 bis 45 Minuten. Material: Tabellenkalkulation oder Taschenrechner.

Eine Idee: Die Klasse bekommt Messwerte einer Kondensatorentladung (selbst gemessen oder simuliert) und trägt $\\ln u\_C$ über $t$ auf. Bei einer Exponentialfunktion entsteht eine Gerade mit der Steigung $-1/\\tau$. Das ist ein anschaulicher Test, ob ein Abklingvorgang wirklich exponentiell verläuft.

## Fazit

Wo immer die Änderungsrate proportional zum Bestand ist, entsteht dieselbe Exponentialfunktion. Die Zeitkonstante $\\tau$ und die Halbwertszeit $T\_{1/2} = \\tau \\ln 2$ beschreiben dieselbe Kurve auf zwei Arten.