Warum e hoch minus t durch τ überall auftaucht
Kondensatorentladung, radioaktiver Zerfall und Abkühlung folgen derselben Gleichung. Wir zeigen, woher sie kommt, und rechnen den Zusammenhang zwischen Zeitkonstante und Halbwertszeit aus.
Der Entladevorgang eines Kondensators, der Zerfall radioaktiver Kerne und viele Abkühlvorgänge sehen in der Mathematik gleich aus. Das ist kein Zufall: Dahinter steht eine einzige Differentialgleichung.
Die Grundidee
Eine Größe $y(t)$ nimmt so ab, dass ihre Änderungsrate proportional zu ihrem aktuellen Wert ist:
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -\frac{1}{\tau}\, y.$$
Dabei ist $\tau$ eine positive Konstante mit der Einheit einer Zeit. Je größer $y$, desto schneller nimmt es ab, und je kleiner $y$ wird, desto langsamer geht es weiter.
Die Lösung mit dem Anfangswert $y(0) = y_0$ lautet
$$y(t) = y_0 \, e^{-t/\tau}.$$
Das lässt sich durch Ableiten prüfen: $\dot y = y_0 \cdot \left(-\tfrac{1}{\tau}\right) e^{-t/\tau} = -\tfrac{1}{\tau}\, y$.
Drei Beispiele
- Kondensatorentladung: Die Spannung folgt $u_C(t) = U_0\, e^{-t/(RC)}$, also $\tau = R \cdot C$.
- Radioaktiver Zerfall: Die Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne folgt $N(t) = N_0\, e^{-t/\tau}$, denn die Zerfälle pro Zeit sind proportional zur Anzahl der vorhandenen Kerne.
- Abkühlen: Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt die Temperaturdifferenz zur Umgebung näherungsweise genauso. Streng genommen gilt das nur bei kleinen Temperaturunterschieden und ohne Strahlungsanteil.
Halbwertszeit und Zeitkonstante
Die Halbwertszeit $T_{1/2}$ ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte übrig ist:
$$e^{-T_{1/2}/\tau} = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad T_{1/2} = \tau \ln 2 \approx 0{,}693\,\tau.$$
Bei einem RC-Glied mit $\tau = 1\,\mathrm{s}$ ist die Spannung also nach etwa $0{,}69\,\mathrm{s}$ auf die Hälfte gefallen. Nach der Zeit $\tau$ selbst sind noch $e^{-1} \approx 36{,}8\,\%$ übrig.
Stolpersteine
- Nicht jedes Abklingen ist exponentiell. Wird eine Größe etwa von zwei Prozessen mit unterschiedlichen Zeitkonstanten bestimmt, ergibt die Messkurve eine Summe von Exponentialfunktionen.
- Halbwertszeit und Zeitkonstante sind nicht dasselbe. Der Faktor $\ln 2$ wird gern vergessen.
- Ein Offset stört. Wenn eine Größe nicht gegen null, sondern gegen einen Endwert strebt (zum Beispiel die Raumtemperatur), muss er vor dem Anpassen abgezogen werden.
Für den Unterricht
Jahrgangsstufe: ab 12. Im LehrplanPLUS für das bayerische Gymnasium stehen die natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion in Mathematik 12, das RC-Glied in Physik 12 und das Zerfallsgesetz per Differentialgleichung in Physik 13 (erhöhtes Anforderungsniveau). Die Halbwertszeit kennt die Klasse schon aus Physik 10. Zeitbedarf: 30 bis 45 Minuten. Material: Tabellenkalkulation oder Taschenrechner.
Eine Idee: Die Klasse bekommt Messwerte einer Kondensatorentladung (selbst gemessen oder simuliert) und trägt $\ln u_C$ über $t$ auf. Bei einer Exponentialfunktion entsteht eine Gerade mit der Steigung $-1/\tau$. Das ist ein anschaulicher Test, ob ein Abklingvorgang wirklich exponentiell verläuft.
Fazit
Wo immer die Änderungsrate proportional zum Bestand ist, entsteht dieselbe Exponentialfunktion. Die Zeitkonstante $\tau$ und die Halbwertszeit $T_{1/2} = \tau \ln 2$ beschreiben dieselbe Kurve auf zwei Arten.
