Schiefer Wurf: Warum 45° die größte Weite liefert und wann nicht
Herleitung von Wurfweite, Wurfhöhe und Flugdauer beim schiefen Wurf ohne Luftwiderstand, mit Zahlenbeispiel und den Gründen, warum der beste Winkel in der Praxis kleiner als 45° ist.
Beim schiefen Wurf lautet die Faustregel: 45° liefert die größte Weite. Diese Aussage gilt nur unter bestimmten Bedingungen. Wir leiten sie her, rechnen ein Beispiel und klären, wo sie nicht mehr stimmt.
Annahmen
Wir betrachten einen Körper, der mit dem Betrag $v_0$ unter dem Winkel $\alpha$ zur Waagerechten abgeworfen wird. Streng genommen gilt alles Folgende nur, wenn
- der Luftwiderstand vernachlässigt wird,
- Abwurf- und Landehöhe gleich sind,
- die Fallbeschleunigung $g = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ konstant ist.
Herleitung
Waagerecht bewegt sich der Körper gleichförmig, senkrecht gleichmäßig beschleunigt:
$$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t, \qquad y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \tfrac{1}{2} g t^2.$$
Die Landung erfolgt bei $y = 0$ und $t \gt 0$. Daraus folgt die Flugdauer
$$T = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}.$$
Setzen wir $T$ in $x(t)$ ein, erhalten wir mit $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$ die Wurfweite
$$w = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.$$
Der Sinus wird am größten, wenn $2\alpha = 90^\circ$ gilt, also bei $\alpha = 45^\circ$. Außerdem gilt $\sin(2\alpha) = \sin(180^\circ - 2\alpha)$. Zwei Winkel, die sich zu $90^\circ$ ergänzen, liefern deshalb dieselbe Weite.
Die größte Höhe erreicht der Körper bei $v_y = 0$:
$$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}.$$
Zahlenbeispiel
Mit $v_0 = 10\,\mathrm{m/s}$ ergibt sich:
| $\alpha$ | Weite $w$ | Höhe $H$ | Flugdauer $T$ |
|---|---|---|---|
| $30^\circ$ | 8,83 m | 1,27 m | 1,02 s |
| $45^\circ$ | 10,19 m | 2,55 m | 1,44 s |
| $60^\circ$ | 8,83 m | 3,82 m | 1,77 s |
$30^\circ$ und $60^\circ$ liefern dieselbe Weite, aber ganz unterschiedliche Flugbahnen: flach und schnell oder hoch und langsam.
Wo die 45°-Regel nicht mehr stimmt
- Starthöhe über dem Boden: Wird der Körper aus einer Höhe $h \gt 0$ geworfen, liegt der beste Winkel unter $45^\circ$. Der Körper hat mehr Zeit zum Fliegen, deshalb lohnt sich eine flachere Bahn mit mehr waagerechter Geschwindigkeit.
- Luftwiderstand: Auch hier verschiebt sich der beste Winkel typischerweise unter $45^\circ$, wie stark, hängt vom Körper und von der Geschwindigkeit ab.
- Der Werfer selbst: Beim Kugelstoßen kommen Starthöhe und die vom Winkel abhängige Abwurfgeschwindigkeit zusammen. Die Optimierung ist dort komplizierter, als die Formel oben vermuten lässt.
Für den Unterricht
Jahrgangsstufe: 10 als Erweiterung. Verbindlich ist im LehrplanPLUS für das bayerische Gymnasium in Physik 10 der waagrechte Wurf; den „optimalen Wurf“ nennt der Lehrplan als Beispiel im Profilbereich am NTG. In Jahrgangsstufe 11 (Profilbereich am NTG) bietet sich als Fortsetzung die Computermodellierung „schräger Wurf mit Luftwiderstand“ an. Zeitbedarf: eine Doppelstunde mit Experiment, eine Einzelstunde für die Herleitung allein. Material: Tennisball oder Wasserstrahl aus einem Schlauch, Winkelmesser, Maßband, Smartphone für eine Videoanalyse.
Eine Idee: Die Klasse sagt zuerst voraus, welcher Winkel am weitesten wirft, und misst dann nach. Die Entdeckung „$30^\circ$ und $60^\circ$ sind gleich weit“ funktioniert gut als Aha-Moment, bevor die Formel an der Tafel steht.
Fazit
Mit $w = v_0^2 \sin(2\alpha)/g$ lassen sich Wurfweite und Winkelsymmetrie in einer Zeile erklären. Die Aussage „45° ist optimal“ gilt streng nur bei gleicher Start- und Landehöhe ohne Luftwiderstand. Im Experiment sollten wir die Abweichungen ausdrücklich zum Thema machen.
